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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
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\begin{document} 


	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} Prof.\ Dr.\ Salma Kuhlmann,\hfill Universität Konstanz\\ Dr.\ Lothar Sebastian Krapp,\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik \\ Michele Serra, Sarah Tanja Hess \hfill Sommersemester~2021
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Algebraische Zahlentheorie \\
		\normalsize Blatt 1 \\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{TutorIn:} Mein(e) Lieblingstutor(in)
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}

	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung werden alle Resultate bis einschließlich Vorlesung~15 vorausgesetzt.
	 Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\
	
	
	\textbf{Aufgabe 1.1} \hfill 	\textbf{[1+1+1+1 Punkte]}	
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Bestimmen Sie die folgenden Normen:
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item $\mathrm{N}_{\Q\left(\sqrt{3}\right)/\Q}\left(\sqrt{3}\right)$
			\item $\mathrm{N}_{\Q\left(\sqrt[4]{3}\right)/\Q}\left(\sqrt{3}\right)$
		\end{enumerate}		
		\item Bestimmen Sie die folgenden Spuren:
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item $\mathrm{Sp}_{\Q\left(\sqrt{3}\right)/\Q}\left(\sqrt{3}\right)$
			\item $\mathrm{Sp}_{\Q\left(\sqrt[4]{3}\right)/\Q}\left(\sqrt{3}\right)$
		\end{enumerate}	
	\end{enumerate}

	\textbf{Lösung:}
	 
	 \

	\textbf{Aufgabe 1.2} \hfill 	\textbf{[1+2+1 Punkte]}
	\\[3pt] Sei $\gamma$ eine Nullstelle des irreduziblen Polynoms $f(x):=x^3-x-1\in\Q[x]$ in einer geeigneten Körpererweiterung von $\Q$.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Bestimmen Sie die $\Q(\gamma)/\Q$-Spuren von $1$ und $\gamma$.
		\item Bestimmen Sie mit Hilfe der Matrixdarstellung der Multiplikation mit $\gamma^2$ bezüglich der Basis $\{1,\gamma,\gamma^2\}$ die 
		$\Q(\gamma)/\Q$-Spur von $\gamma^2$.
		\item Ermitteln Sie für beliebig aber feste $a,b,c\in\Q$ die $\Q(\gamma)/\Q$-Spur von $a+b\gamma+c\gamma^2$.
	\end{enumerate}

	\textbf{Lösung:} 
	
	\
	
	\newpage
	\textbf{Aufgabe 1.3} \hfill 	\textbf{[1+1+1+1 Punkte]}
	\\[3pt] Sei $K$ ein Körper, $V$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum ($n\in\N$), $B\colon V\times V \to K$ eine symmetrische Bilinearform und betrachten Sie für beliebig aber festes $x\in V$ die Linearform
	\begin{eqnarray*} B_x\colon V &\to& K \\ y &\mapsto& B_x(y):=B(x,y).
	\end{eqnarray*} Die Bilinearform $B$ ist \textit{nicht-ausgeartet}, falls für alle $x\in V\backslash\{0\}$ stets $B_x\not\equiv 0$ gilt. Ist dies nicht der Fall, so ist $B$ \textit{ausgeartet}.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Zeigen Sie, dass $B$ genau dann nicht-ausgeartet ist, wenn für alle Matrix-Darstellungen $\mathbb{B}$ von $B$ bereits $\det(\mathbb{B})\neq 0$ gilt.
	\end{enumerate}
	Betrachten Sie nun die lineare Abbildung 
	\begin{eqnarray*} \varphi_B\colon V &\to& V^* \\ x&\mapsto& B_x. \end{eqnarray*}
	\begin{enumerate}[(a)]
		\setcounter{enumi}{1}
		\item Beweisen Sie, dass $B$ genau dann nicht-ausgeartet ist, wenn $\ker(\varphi_B)=\{0\}$ erfüllt ist und folgern Sie, dass $B$ genau dann nicht-ausgeartet ist, wenn $\varphi_B$ ein Isomorphismus ist.
	\end{enumerate}
	Sei $B$ von nun an nicht-ausgeartet, $\mathcal{B}:=\{v_1,\ldots,v_n\}$ eine Basis von $V$ und $w_j:=\varphi^{-1}_B(v_j^*)\in V$ für alle $j\in\{1,\ldots,n\}$. Bemerken Sie, dass $\{w_1,\ldots,w_n\}$ eine Basis, die zu \textit{$\mathcal{B}$ $B$-duale Basis}, von $V$ ist.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\setcounter{enumi}{2}
		\item Beweisen Sie für alle $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ die Kronecker-Delta-Beziehung $B(v_i,w_j)=\delta_{ij}$.
		\item Zeigen Sie, dass die zu $\mathcal{B}$ $B$-duale Basis für alle $v\in V$ mit $v=\sum\limits_{i=1}^n c_iv_i$ ($c_1,\ldots,c_n\in K$) und alle $j\in\{1,\ldots,n\}$ bereits 
		$c_j=B(v,w_j)$ erfüllt.
	\end{enumerate}

	\textbf{Lösung:} 

	\
	
	\textbf{Aufgabe 1.4*} \hfill 	\textbf{[1+1+2 Punkte]}	
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Sei $K$ ein Körper, $n\in \N$, $A$ eine $n\times n$-Matrix mit Einträgen aus $K$ und betrachten Sie das charakteristische Polynom $\mathrm{CharPol}(A):=\det(xI_n-A)=x^n+b_{n-1}x^{n-1}+\ldots+b_0\in K[x]$ von $A$. Beweisen Sie die folgenden Beziehungen: 
		\begin{enumerate}[(i)]
			\item $b_0=(-1)^n\det(A)$
			\item $b_{n-1}=-\mathrm{Spur}(A)$.
		\end{enumerate}
		\item Sei $L/K$ eine endliche Körpererweiterung. Zeigen Sie, dass 
		\begin{eqnarray*} B_{L/K} \colon L\times L &\to & K \\ (x,y) &\mapsto& \mathrm{Sp}_{L/K}(xy) \end{eqnarray*}
		eine symmetrische Bilinearform ist.
	\end{enumerate}
			
	\textbf{Lösung:} 
	
	\
		
	
	\

	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Donnerstag, den 24.\ Juni 2021, um 10:00 Uhr}, direkt an den Tutor / die Tutorin. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
\end{document}